从零开始推导傅里叶变换

前言

傅里叶变换是许多理工科都会用到的一种线性积分变换。传统的卷积神经网络（CNN)无法在非欧数据上运算，为了能够在图等非欧数据上进行卷积运算，研究人员提出在图上进行傅里叶变换，进而发展出图卷积网络（GCN）。

本文将聚焦于傅里叶级数和傅里叶变换的数学推导，完全从数学的角度展开。若想了解傅里叶分析的基本概念，可以参考这篇文章。这个视频对本文的写作具有启发性意义，本文的一些地方参考了视频。

三角函数

三角函数的和差公式

为了真正从零开始推导，首先需要掌握三角函数和差公式。假设平面上有两个单位向量，与x轴的正向夹角分别为和，则这两个向量分别为，。由内积公式可知，两个向量的内积为

在欧几里得空间中，内积可以直观地定义为两个向量的模长乘它们之间的余弦夹角，即

此时我们得到了第一个三角函数和差公式。将(2)中的用带入时，有

即

这里用到了和这两个公式，这是由三角函数的奇偶性得到的。现在，我们用带入到(2)和(4)式中的，分别得到

公式(2),(4),(5),(6)就是三角函数最基本的和差公式，是后续推导的基础。

三角函数的正交性

先来看一个三角函数的集合：{ 0，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，…，sinmx，cosmx，…}，这实际上是由sinnx和cosnx组成的集合，其中n为自然数。

正交

这里引用维基百科中正交的概念——“正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。”也就是说，当两个向量正交时：

其中是向量和向量的夹角，在二维平面上向量和向量垂直。把和用向量的方式表达出来，，，那么

当和时，由于此时a和b是连续函数，所以这里加和就变成了取积分，即

当式(3)为0时，两个向量正交。

对于任意两个三角函数在区间上积分，当时，

同样可以计算

当时，

注意，这里其实用到了一个小trick，即，由于，因此通过公式(4)可知积分为0。

同样可以计算当时，

傅里叶级数

讲了那么多铺垫，终于进入到第一个主题，傅里叶级数。首先，我们来看一下傅里叶级数的定义，这里同样引用维基百科的定义——“傅里叶级数是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组简单振荡函数的加权和表示的方法。”现在我们知道了傅里叶级数是什么东西，它无非就是一组具有周期性的简单振荡函数的加权和，那么我们就可以开始计算了。我们先看一个最简单的正弦函数，，这是一个周期为，振幅为1，相角为0的振荡函数，现在我们给它做一些拓展，让它可以表示任意三角函数：

现在，我们根据傅里叶级数的定义，假设(16)是满足狄利克雷定理的周期函数，那么它的傅里叶级数就是(16)的加权和，即

由于是一个常数，因此可以令，,此时(17)就变成了，此时可以发现这几乎就是三角级数了，于是我们再进一步，把它变成三角级数，即

这一步实际上就是把加和项0拿出来单独计算，于是加和从1开始，，于是我们几乎算得三角级数。现在我们来算,为了便于计算，我们假设是一个周期为的函数，那么在区间上对算积分，可得

这一步实际上也用到了三角函数正交性的trick，因为，而，因此后两项的积分为0，所以

得到的值后，现在来算，将(19)等式两边同时乘以，得到

(21)中等式右边第一项由于，因此第一项积分为0，第三项由(11),(14)可知积分为0，因此只剩下第二项。而由(10),(13)可知，仅当时，其积分为，其余积分为0，因此等式(21)变为

因此。对于，将(19)等式两边同时乘以，得到

同理可得。
此时我们算得了，和，有

可以看到，和的系数都是，而的系数为，这不够美观，于是我们把的系数换成，那么(18)就变成了
，其中

当时，就得到了教材中傅里叶级数的一般形式，即
，其中

上面的等式是我们为了便于计算而假设了周期是，那么当周期不是时表达式又变成什么样了呢？现在假设周期为，那么(24)就变成了
，其中

图1 一个相同幅度和频率的锯齿波的近似

图2 另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。

这个网站可以看到傅里叶级数交互式的动画。

欧拉公式

在介绍傅里叶变换前，需要先介绍宇宙最美公式——欧拉公式。本节只证明而不介绍欧拉公式，想要了解欧拉公式，可以参考李永乐老师的视频。我们假设，其中是虚数，，对求导有

的导数为0，意味着是一个常数，那么有

因此

将(29)中的替换为，可以得到

利用[(30)-(29)]/2和[(30)+(29)]/2分别可以得到

傅里叶级数的复数形式

将公式(31),(32)带入公式(26)中，有

这一步比较复杂，需要具体解释一下。第一个等号实际上就是把公式(31),(32)带入公式(26)中，等二个等号用到了乘法结合律，第三个等号是关键，这里把第一项的换成了，实际上因为，因此，所以它们是相等的；而第三项则是把用带入，此时所有项都含有，因此我们用来表示常数项，且

现在我们将(27)带入(34)中，当时，

当n为正整数时，

当n为负整数时，

算到这里时，我们发现当时的结果和时的结果居然一模一样，那么现在不如更进一步，把时的结果换个形式，变换(36)式为

现在，的所有形式都已经统一了，于是我们可以用一个公式来表示这个结果，即

其中

傅里叶变换

上文已经阐述了当周期是和时傅里叶级数的情况，并且对傅里叶级数的复数形式进行了推理论证，现在很容易产生一个疑问——当周期趋向于无穷大时，这时周期函数就变成了非周期函数，那么该怎么计算呢？这就引了本文的第二个主题，傅里叶变换。

图3 傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。

图3很好的展示了通过傅里叶变换将正弦波组成一个类方波的过程，现在依次解释图3中发生了什么。

(a) (b) (c) (d) (e) (f)图4中红色波代表函数在时域上图，如(a)中的红色波，图4(b)相较(a)多了许多蓝色的波，这些波实际上是不同频率的波在时域上的图。图4(c)中用透视的角度去看不同域的效果，以(a)为例是从时域的角度看，而(d)中则是频域图像，从左往右频率依次增加。(e)则是时域频域的交叉图。(f)是另一个函数在不同域上的效果。

上文已经推导出当周期为T时，

其中

当周期趋向于无穷大时，，此时趋于0，函数则由离散变成连续，则有，，，现在将(43)带入到(42)中，有

其中

称为傅里叶变换，

称为傅里叶逆变换。到此为止，我们已经推导完傅里叶变换和傅里叶逆变换，如果你动手跟着文章一路推导下来，那么你应该理解了本篇文章的内容，接下来你就可以应用它啦。